内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。

现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：

方程 15:

在函数空间中，两个函数 f(x) 和 h(x) 之间的内积通常定义为一个积分，这个积分依赖于具体的内积空间和所考虑的函数类型。在许多情况下，特别是在实数域上的函数空间，内积可以定义为两个函数的乘积在某个区间上的积分，再加上可能的权重函数。

一个典型的例子是在实数域上的 L2 空间，其中函数 f(x) 和 h(x) 的内积定义为：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx

这里，a 和 b 是积分的上下限，dx 表示对 x 的微分，积分区间 [a, b] 是定义内积的区间。这个内积满足内积空间的公理，包括对称性、线性性和正定性。

如果考虑的是带有权重 w(x) 的函数空间，那么内积的定义会包含这个权重函数：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx

权重函数 w(x) 可以是任何非负的可积函数，它在积分中起到调整不同部分重要性的作用。例如，在概率论中，权重函数可能代表概率密度函数，而在其他应用中，它可能有不同的解释。

需要注意的是，内积的定义不是唯一的，它可以依赖于特定的应用和所考虑的函数空间。在某些情况下，内积可能还包括复共轭，尤其是在处理复数域上的函数空间时。例如，在复数域上的 L2 空间，内积定义为：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx

这里，conj(h(x)) 表示 h(x) 的复共轭。

总结来说，函数 f 和 h 之间的内积通常通过积分来定义，具体形式取决于所考虑的函数空间和应用背景。在实数或复数域上，内积可能包括函数乘积的积分，有时还会加上权重函数或复共轭。若是区间在[-∞,∞]之间，则

卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。

现在在普通的 3D 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：

方程 16:

V=Vx*X+Vy*Y+Vz*Z

x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。

我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：

＜X*V＞=X*V=Vx

那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。

这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。

这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。

有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质

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方程 17:

f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'

认识到积分是内积，这与下式相同

方程 18:

f(x)=＜δx，f＞

其中我使用 δ_x 作为位置 x 的 delta 函数的简写。

由于 f(x) 类似于在位置 x 的 f 的“分量”，与位于 x 处的 delta 函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta 函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置 x 处的值或分量，就像 3D 空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于 delta 函数的两种思考方式：

? 它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以 1 的角色。换句话说，delta 函数有点像 1。

? 在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。就比如狭义相对论中的洛伦兹变换？

对于实变量上的函数：

方程19:＜f,h＞=∫±∞f(x)h(x)dx

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程 6）。

L?G(x,x')=δ(x-x')

或者如果算子是自伴随的：

LG(x,x')=δ(x-x')

如果δ函数类似于 1 或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子 L 的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu(x)=f(x)

如果格林函数类似于 L 的逆，如果乘以 G，即与格林函数取内积，则可以“撤销” L 的作用并求解 u。

方程 20:

＜G,Lu＞=＜G,f＞

根据伴随的定义（方程 7），我们可以将 L 作用于 u 替换为 L 的伴随作用于 G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

方程 21:

＜G,Lu＞=＜L?G,u＞=(δx,u)=U(x)

对于右手边：

方程 22:U(x)=＜G,f＞=∫G(x,x')f(x)'dx

就是这样。如果格林函数 G，我们通过与源函数 f 取积分来求解 u，类似于用 L 的逆乘以 f。

方程 23:

G∽L^-1

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于 G 的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x ' G(x, x ')格林函数似乎是一种将x '处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程 22 的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它将是精确的。事实证明，如果线性算子 L 具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

方程 24:

U(x)=∫G(x-x')f(x')dx=G*f

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程 3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度 ρ(r) 表示。

泊松方程:

-▽^2V(r)=ε0^-1ρ(r)

其中 ?0 是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

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方程 25 电子的电荷密度:

ρ(r)=-eδ(r)

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷 +e 的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

ρ(r)=+3eδ(r)

因为钕